Критерий Коши, необходимое условие сходимости числовых рядов

$\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n}$ сходится $\iff$ $\forall{ \varepsilon > 0}~~ \exists{N}~~ \forall{m > n > N}\mathpunct{:}~~ \left| \sum\limits_{k=n+1}^{m} a_{k} \right| < \varepsilon$

$\sum\limits_{n=1}^{\infty}{a_{n}}$ сходится $\iff \{S_{n}\}$ - сходится $\iff$ по критерию Коши для последовательностей: $$\forall{\varepsilon} > 0~~\exists{N_{\varepsilon}}~~\forall{m,n} > N\mathpunct{:}~~ |S_{m} -S_{n}| < \varepsilon$$ Так как $S_{m} - S_{n} = \sum\limits_{k=n+1}^{m} {a_{k}}$, получаем, что и требовалось доказать. $\square$

Если $\sum\limits_{n=1}^{\infty}{a_{n}}$ сходится, то $a_{n} \underset{n \to \infty}{\longrightarrow} 0$

Применим критерий Коши при $m = n + 1$ и $n = n$, тогда: $$\left| \sum_{k=n+1}^{n+1} a_{k} \right| = |a_{n+1}| < \varepsilon \implies a_{n} \to 0$$ $\square$